1 Temmuz 1987 Tarihli Commodore Gazetesi Sayfa 36

Recursion'ın Yeri kendinize bir sorun bakalım, “R sı- radan bir küme mi, yoksa kendisini yutan türden mi?” Cevabın, “R ne sıradandır, ne de kendisini yutar; çünkü her iki cevap da paradoksa gider” olduğunu göreceksiniz. Dene- yin! Fakat, eğer R ne sıradan, ne de kendisini-yutan türden değilse, nedir? En azından patolojik bir şey. Ama bu tür kaçamak cevaplar kimseyi tatmin etmez, tabil. Bu yüzden, insanlar kü- meler kuramının temellerini daha bir ciddiyetle incelemeye başladılar. Bu incelemede hayati önem taşıyan so- rularsa, “Sezgisel *küme' kavramı- mızda nasıl bir terslik var? Sezgileri- mize gereğince tekabül eden ve para- dokslara düşmeyen sağlam bir küme teorisi üretebilir miyiz?” idi. Sayı te- orisinde ve geometride olduğu gibi, burada da sorun sezgiyi formelleşti- rilmiş ya da aksiyomlaştırılmış akıl yürütme sistemleriyle bağdaştırma çabasında yatmaktadır. Russel'ın paradoksunun şaşırtıcı bir türü de, küme yerine sıfatlar kul- lanarak yapılan ““Grelling paradok- su”'dur. Dildeki sıfatları “*dörthece- li”, “beceriksizli” ve “malumatfu- ruş” gibi kendini-tanımlayan ve “besleyici”, “eksik””, “çiftheceli” gi- bi kendini-tanımlamayanlar olmak üzere iki kategoriye ayıralım. Şimdi, “kendini-tanımlamayan”ın da bir sı- fat olduğunu kabul ederek, bu sıfat hangi sınıfa aittir? Öyle görünüyor ki, bu paradoks- larda ortak bir suçlu var, o da kendi- ne-atıf, ya da “kendi üzerine dön- me”, Yani, bilgisayar programların- dan “recursion” diye tanıdığımız özellik. Öyleyse, madem amaç para- doksları tamamen ortadan kaldır- mak, neden kendine-atıfı ve buna olanak veren her şeyi menetmiyoruz? Bu öyle göründüğü kadar kolay de- ğil, çünkü kendine-atıfın nerede geç- tiğini tam olarak saptamak çok zor olabilir. Mesela, Giritli bir filozofun “bütün Giritli filozoflar yalancıdır”” demesini hatırlatan şu iki cümleyi ele Aşağıdaki cümle yanlıştır. Yukarıdaki cümle doğrudur. Bir arada alındığında, bu cümleler bir paradoks etkisi yaratıyorlar; oy- sa, ayrı ayrı bakarsak, ikisi de zarar- sız, hatta potansiyel olarak yararlı cümleler. Bu durumda ““suç”'u cüm- lelerden birine yükleyemeyiz. Suç bir- birlerine “işaret” etme biçimlerinde yatıyor. Aynı şekilde, İniş Çıkış'ın her bir bölgesi de pekâlâ doğrudur; imkânsızlığı, bu bölgelerin bütünsel olarak bir araya getiriliş biçimi yara- tır. Kendine-atıf yalnız doğrudan de- ğil, dolaylı da olabildiğine göre, her iki türünü birden ortadan kaldırma- nın yolunu bulmak gerekiyor - tabii, eğer kendine-atıfın bütün kötülükle- rin anası olduğu düşünülüyorsa, RECURSION'IN YASAKLANMASI Russel ile Whitehead böyle düşü- nüyorlardı; nitekim dev Principia Mathematica da kendi kendine atıf yapmayı mantık, küme ve sayı teori- sinden kovmaya yönelik bir eserdi. Sistemlerinin ana fikri şuydu: Bütün kümeler bir “tipler hiyerarşisi”” oluş- turacak şekilde düzenlenmiştir. En düşük “tip”ten bir küme yalnız ““nes- neler”'i içerebilir, kümeleri içeremez. Bunun bir üzerindeki küme yalnızca nesneleri ve en düşük tipten kümele- ri içerebilir. Yani, genelde, her küme yalnızca daha düşük tipten kümeler- le nesneleri içerebilirdi. Her küme be- lirli bir düzeydeki bir tipe ait olduğu için, hiçbir küme kendisini içeremez, çünkü bunu yapabilmesi için kendi ti- pinden daha yüksek bir tipe ait olma- sı gerekir. Böyle bir sistemde yalnız- ca “sıradan” kümeler bulunur; da- hası, bizim eski R -tüm sıradan kü- melerin kümesi- sonlu tiplerden hiç- birine ait olmadığından, artık küme olarak kabul edilmemektedir bile. Öyleyse, nereden bakarsanız bakın, “Recursion'ın ilgası kuramı”' diye de adlandırabileceğimiz bu fipler teori- si, küme teorisini paradokslardan kurtarmakta başarılı olmuştur; fakat, ancak yapay-görünümlü bir hiyerar- şi getirmek ve -tüm sıradan kümele- rin kümesi gibi- belirli türden küme- lerin oluşmasına imkân tanımamak pahasına... Tipler teorisi Russel'ın paradok- suyla başa çıkmıştı, ama yalancı Gi- ritli filozof paradoksuna ya da yuka- rıdaki örnekle, birbirine gönderme yapan iki cümleye karşı elinden bir şey gelmiyordu. Küme teorisinden ötesiyle uğraşmayanılar için bu kadarı da yeterliydi; ama, genelde paradoks- ların elimine edilmesiyle ilgilenenler için, dilde sarmallanmayı yasaklaya- cak yeni bir “hiyerarşikleştirme”” ge- rekli görünüyordu. Böyle bir hiyerar-