1 Temmuz 1987 Tarihli Commodore Gazetesi Sayfa 35

İnsan Dü D.HOFSTADTER Çeviren: Deniz Erksan Işe matematiksel mantığın 1931 ön- cesi tarihini kısaca özetlemekle baş- layalım. Tüm bu tarih, akıl yürütme süreçlerini mekanikleştirme girişim- leriyle başlamıştı. Şimdi, akıl yürüt- me yeteneğimizin bizi diğer canlılar- dan ayıran şey olduğu sık sik söyle- nir; bu yüzden, en insani özelliğimi- zin mekanikleştirilmesi ilk bakışta bi- raz paradoksal görünüyor. Oysa es- ki Yunanlıların bile bildiği gibi, akıl yürütme belirli bir kalıba göre işleyen bir süreçtir ve -hiç olmazsa kısmen- ifade edilebilir kanunlara bağlıdır. Aristoteles tasımları (syllogism), Euc- lid de geometriyi bir kanunlar siste- mi halinde toplamıştı; fakat, aksiyo- matik akıl yürütme çalışmalarında bunları başka gelişmelerin izlemesi için yüzyıllar geçmesi gerekti. Ondokuzuncu yüzyıl matematiği- nin en önemli keşiflerinden biri, ay- nı derecede geçerli birden fazla geo- metrinin varlığı oldu. (Burada, “bir geometri”” soyut nokta ve çizgilerin özellikleri hakkında bir teori anlamı- na gelmektedir.) O ana kadar, çok uzun zamandan beri geometrinin Euclid'in sistematikleştirdiği şey ol- duğu varsayılmış ve Euclid'in sunuş biçiminde küçük kusurlar bulunsa bi- le bunların önem taşımadığına, geo- metride gerçek bir ilerlemenin ancak Euclid'i geliştirmekten geçebileceği- ne inanılmıştı. Hemen hemen aynı anda birkaç kişinin birden Euclid dışı geometrileri keşfetmesi bu inancı pa- ramparça ettiği gibi, matematiğin gerçek dünyayı incelediği fikrine cid- di biçimde gölge düşürdü. Bu, mate- matikçiler üzerinde de şok etkisi ya- rattı. Tek bir gerçeklikte nasıl pek çok değişik türde nokta ve çizgi bu- lunabilirdi? Bugün bu ikilemin çözü- mü -matematikçi olmayan bazı kişi- lere bile- aşikâr gelebilir; fakat o sı- ralarda, matematik çevreleri tam bir yıkıma uğramıştı. Ondokuzuncu yüzyılın daha ileri- ki yıllarında, İngiliz mantıkçıları Ge- örge Boole ve Augustus De Morgan salt tümdengelimsel akıl yürütme ka- lıplarını sisteme bağlamakta Aristo- teles'i bir hayli geride bıraktılar. Hat- ta Boole kitabına ““Düşünce Yasala- rı” adını verdi. Biraz abartmıştı kuş- kusuz, ama kitap gerçekten önemli bir katkıydı. Bu mekanikleştirilmiş akıl yürütme yöntemlerine hayran kalan Lewis Carrol, bu yöntemlerle çözülmek üzere pek çok bilmece üret- ti. Jena'da Gottlob Frege, Torino'- şüncesinde da da Giuseppe Peano formel akıl yü- rütmeyi küme ve sayı çalışmalarıyla bağdaştırmaya uğraşıyorlardı. Göt- tingen'de David Hilbert ise geomet- riyi Euclid'e kıyasla daha sıkı ve ke- sin bir şekilde formelleştirmeye çalış- maktaydı. Tüm bu çabalar aslında, herhangi bir şeyi kanıtlamanın ne an- lama geldiğini berraklaştırmaya yü- nelikti. Bu arada, klasik matematikte de il- ginç gelişmeler cereyan etmekteydi. Georg Cantor 1880'lerde farklı son- suzluk tipleri üzerine kümeler (set) te- örisi diye adlandırılan bir kuram ge- liştirdi. Kuram güçlüydü, güzeldi, fa- kat sezgilere ters düşüyordu. Çok geçmeden kümeler kuramına bağlı bir sürü paradoks çıkmıştı ortaya. Bunların en tanınmışı Russel'ın pa- radoksudur. Bildiğiniz gibi, kümele- rin çoğu kendi kendisini içermez; ya- ni, köstebekler kümesi (isterseniz “sı- nıfi” diye de düşünebilirsiniz) bir köstebek; yalnız Jeanne D'Arc'ı içe- ren küme de Jeanne D'Arc değildir (bir küme bir insan olamaz). Bu açı- dan, çoğu küme bir hayli “sıradan''- dır. Fakat, kendi kendisinin üyesi olan bir takım “kendini-yutan” kü- meler de vardır; örneğin bütün küme- leri içeren küme, yani kümelerin kü- mesi veya Jeanne D'Arc hariç her şe- yi içeren küme gibi... Doğal olarak, herhangi bir küme ya sıradan olabi- lir, ya da kendisini-yutan türden; hiç- bir küme her ikisi birden olamaz. Şimdi oturup R diye bir küme icat edelim: bürün sıradan kümelerin kü- mesi, İlk bakışta, R basbayağı sıra- dan bir icat gibi görünebilir. Ama